Бюллетень. Выпуск пятнадцатый. Культурная и научная жизнь «Дома А.Ф. Лосева»

Семинар «Русская философия».
Заседание № 86 (28 февраля 2012 г.)

Докладчик: Юрий Трофимович Лисица (РУДН, ПСТГУ).

Тема: Об очевидности. Сканды как обобщения Миримановских экстраординарных множеств.

Председательствующий: В. П. Троицкий.

Участвовали: Абрамова Л. И., Васильев П. В., Вомпе Г. А., Грибов П. К., Громаков В. А., Егоров И. П., Зайцев О. В., Китаева Е. Л., Кощеев Ю. К., Кудрин В. Б., Лисица О. В., Лысак И. А., Маневич Л. И., Мартынов А. В., Меньшикова Н. А., Морев Ю. Л., Паскевич И. Х., Перминов В. Я., Полищук Р. Ф., Половинкин С. М., Ткаченко Л. Ф., Фролкина О. Д., Хабарова Н. В., Ясная Л. Ф. Всего: 24 человека.

Тезисы доклада: Начнем с разъяснения ряда терминов. Очевидность — это отвлеченное существительное к прилагательному очевидный, которое означает: несомненный, бесспорный, такой явный, что можно убедиться собственными глазами. «Очевидная истина» — по-другому сказать, «очи видят и узнают».

На всех языках очевидность и очевидный имеют схожие, если не одинаковые значения и происхождение. Вот и латинский аналог evidens от [e(x)+video]: 1) заметный, находящийся на виду, видимый; 2) очевидный, явный, ясный. Приставка ex означает: на основании, в силу, сообразно.

Гуссерль различал очевидность и усмотрение — родовые для «разумного сознания», причем очевидность, которая, по его мнению, «есть осознание тождества мыслимого и созерцаемого», является непременным условием познания.

Для И. А. Ильина, ученика Гуссерля, очевидность — это главное: «Максимум доказуемости: доказательство — обнаружение тех связей, в силу которых созревшее суждение приемлется как истинное; доказательство ведет со ступени на ступень; ряд доказательств или бесконечен или обрывается суждением не обосновываемым, — истиной самоочевидной; в обоих случаях нужен максимум, целесообразно находимый научным тактом; в первом случае максимум количественный, во втором случае максимум качественный («максимум самоочевидности»)». Или: «Когда дается в познании "очевидность", то исследователь испытывает радующее и волнующее его освобождение от субъективности; способность радостно склониться перед сверхличной очевидностью». Более того, при всей объективности этого феномена, Ильин подает его как «личностный акт»: «Тот, кто желает исследовать познание истины и установить, что есть верное знание предмета, — посвящает себя проблеме очевидности и приступает к теории познания; он должен осуществить и накопить обширный и разносторонний опыт очевидности. Человек, никогда не переживший очевидности, не знающий как слагается и проверяется это своеобразное переживание и как оно внутренне "выглядит", — создаст в теории познания только игру мертвыми понятиями и пустые конструкцию к тому же очевидность дается человеку не в одном только теоретическим мышлении» («Путь к очевидности», 1957).

Другой, более младший ученик Гуссерля, Мартин Хайдеггер этимологически возводит «феномен» к очевидности, от греческого слова φαινόμενον, которое означает «то, что показывает себя, самокажущее, очевидное», восходящее к корню «свет, ясность», т. е. то, в чем нечто обнаруживает себя, само по себе способно стать видимым, что может быть выведено на свет. Но Хайдеггер предупреждает, что очевидное может быть только кажущимся, что «явление есть себя-не-казание», что оно может быть «неочевидным», «потаенным», а поэтому часто «искаженным».

Известно, что датский философ С. Кьеркегор (1813—1855) был помолвлен с Региной Ольсен, но спустя год без всяких объяснений расстался со своей невестой. Никто не знал причины расторжения этой помолвки. Естественно, что были догадки, версии, как и расспросы самого Кьеркегора. В студенческие годы я слышал такое предание, или философский фольклор, будто бы Кьеркегор говорил, что о причине своей размолвки он пишет на каждой странице своих произведений, но человечество настолько погрязло в своей чудовищной логике, что пройдет еще 300 лет, пока люди увидят и поймут очевидность его объяснений.

Речь здесь пойдет об объективном плане очевидности, как всматривании, усмотрении, вслушивании. Хотя субъективный (личностный, персоналистический, просопонический) план не менее важен и заслуживал бы специального исследования.

То, о чем я собираюсь говорить здесь, намного проще, чем проблемы, поставленные у Гуссерля, Хайдеггера или Ильина.

Задачи у меня три. 1) Привести пример аналогичный загадке Кьеркегора, но уже проясненный. Это знаменитый парадокс Рассела, который более 100 лет всеми считался парадоксом, но таковым, вообще говоря, не является. 2) Решить эсхатологическую задачу в математике: «Посчитать до конца» (проблема, когда-то прямо сформулированная для меня моим сыном), т. е. найти последнее кардинальное и ординальное число Ω, после которого нет уже никакого числа, так как все единицы счета исчерпаны. 3) Показать, что постоянно употребляемый всеми термин «континуум» не очевиден. Например, магические слова «пространственно-временной континуум» — это заклинание, и только. «Недостаточно произносить магические слова; нужно иметь в руках то, к чему эти слова применяются» (Пол Халмош).

Решить эти задачи позволяет усмотренный (узренный) новый математический объект, который я назвал необычным санскритским словом «сканд» (skand — прыгать, скакать, капать), которое позаимствовал из буддистской доктрины о душе: «Душа — только сканд, то есть случайный агрегат бытия». Если для души это, видимо, совсем неверное учение, то для нефундированных множеств в математике — подходит.

Запрет на существование таких нефундированных множеств, в связи с упомянутым парадоксом Рассела, был оформлен молодым американским математиком фон Нейманом путем введения его аксиомы регулярности, вместе с известной аксиомой выбора, эквивалентной аксиоме ограничения, которая не позволяет существования бесконечных цепочек принадлежностей элементов множествам, т. е. рассматриваются только фундированные множества X, каждая цепочка x_ne x_n+1e ... х_х є X заканчивается пустым множеством xn либо индивидом, т. е. объектом, ничего не содержащим. Получается по фон Нейману, что бесконечных цепочек принадлежности множеств нет, несмотря на работу швейцарского математика русского происхождения Дмитрия Мириманова, который ввел в 1917 году такие множества и назвал их экстраординарными.

Сканд — это трансфинитная цепочка вложенных друг в друга фигурных скобок, причем между любыми двумя соседними скобками «места» заполнены или нет ординарными, или фундированными множествами, точнее, их элементами. Например, таково Миримановское классическое экстраординарное множество X={1, {1, {1, {...}}}}. Это множество состоит из единицы 1 и самого себя, или сканд, на все свободные места которого случайно попали единицы (могли бы попасть и другие — был бы другой сканд). Тем самым сканды проясняют важное и темное в математике отношение самопринадлежности X є X, когда множество X является своим собственным элементом. Рассел после открытия своего парадокса назвал последнее отношение «бессмысленным» (meaningless) и предложил рассмотреть множество R, состоящее из всех таких множеств, которые не являются собственными элементами. Тогда он заключил, как ему казалось, очевидным образом, что 1) если R является элементом R, то R не является элементом R, и наоборот, 2) если R не является элементом R, то R является элементом R. Противоречие! Появилась антиномия Рассела, которую быстро связали с древнейшей антиномией Лжеца («Я лгу»), и основы математики и математической логики затрещали по швам. Полвека «ремонтировали» математику и логику, пока не ограничились аксиоматической теорией множеств, сильно ограничивающей так называемый «Канторовский Рай». При этом математики распались на «математико-религиозные секты» — формалистов, логистов, интуитивистов, конструктивистов и др. Однако успехи классической математики (построенной с принятыми ограничениями) отодвинули решение многих важных задач лингвистики, философии языка, компьютерных наук, биологии, медицины и др. Реакцией на аксиому фундирования фон Неймана последовала незамедлительно и многоместно: многие математики стали вводить свои (разные) антифундированные аксиомы. Таковой является и аксиома существования скандов произвольной ординальной длины (Мириманов по умолчанию считал длины своих бесконечных цепочек счетными, вернее первым, не конечным ординальным числом).

Два сканда X и Y называются равными, если система их вложенных фигурных скобок изоморфна как вполне упорядоченное множество, а наполнения на соответствующих местах между скобками одинаковы как множества; если начиная с любого места вновь образованный сканд равен исходному, то сканды само-подобны (например, приведенное выше Миримановское множество из единицы и самого себя). Все само-подобные сканды известны: это сканды, скобки которых упорядочены по степеням первого не конечного ординального (кардинального) числа ω. Если Y={1, {, 1, {, 1, {...{1, {, {1, {...}}}}...}}}} по типу ω в квадрате, т. е. ω х ω, то X и Y не равны между собой, хотя оба само-подобны, «являются» нам своими компонентами 1 и самими собой до ω, но дальше у первого ничего нет, а во втором те же единицы и он сам. Такое же явление происходит у всех самоподобных скандов, которые являются рефлексивными множествами: X={a, b, c, ..., X}. Другими словами, последнее уравнение имеет невообразимое количество различных решений; мы рассмотрели на примерах два различных решения. Из этого делается очевидный вывод: первый силлогизм Рассела верен и R не принадлежит R. Второй силлогизм ложен, так как из того, что R не принадлежит R, никак не следует, что R принадлежит R, так как это соотношение неоднозначно, более того, чудовищно многозначно. Итак, противоречия нет, как нет, в итоге, и антиномии Рассела. Парадокс Рассела заключался и заключается в том, что утверждение: «R не множество, а собственный класс» верно, но его доказательство ложно, так как ссылалось на парадокс Рассела, которого в действительности нет. Верное доказательство этого утверждения очень просто по принципу максимальности (универсальности) семейств элементов, восходящему к самому Кантору. Действительно, если R множество, то оно по первой верной импликации Рассела себя не содержит. Но по известной аксиоме множества существует одноэлементное множество {X}, которое, очевидно, само себя не содержит (сами себя содержат в качестве одного элемента только пустые сканды e = {{{{...}}}}). Объединяя это одноэлементное множество с R, получим новое множество X+{X}, которое больше максимального (универсального) множества R, что противоречит его универсальности: оно множество всех множеств, себя не содержащих. Следовательно, R не является множеством, но есть более сложное семейство элементов, которое в математике называют «собственным классом».

Второй результат заключается в том, что если покомпонентно объединить все сканды, заполненные канторовскими ординалами, то получится само-подобный сканд-класс, который является последним ординальным и кардинальным числом Ω, так как нет больше единиц, т. е. нельзя рассматривать одноэлементное множество {Ω}.

Само-подобные сканды описывают одним махом все s-числа в смысле Кантора, что просто и ново. Если места в скандах определенной длины, являющейся предельным ординалом, заполнить нулями или единицами, и отождествить близнецов (с какого-то места 0, а все последующие единицы с этого места 1, а все последующие нули), то получим прямолинейный отрезок [0, 1], мощность которого может быть произвольна. Если длина сканда есть ω, то это отрезок обычной Евклидовой прямой; если — больше ω, то это обобщенный отрезок, он непрерывный (континуальный) и имеет размерность 1. Но эта континуальность может быть сколь угодно большой. Есть абсолютный предел этой континуальности, который можно установить, если рассмотреть длину эсхатона Ω.

Если пустое множество Ø={} порождает числа 0=Ø, 1={Ø}, 2={Ø, {Ø}}, ...., то помимо пустых скандов, порождающих числа 1 = e₁, 2 = e₂, ..., порождающих те же числа, кроме 0, но, в отличие от предыдущего ряда, порождает эсхатон Ω = e_w — последнее число, существует особый формальный нулевой сканд e₀, у которого семейство фигурных скобок пусто, т. е. нет заполнений, но и нет пустых мест, потому что мест нет вообще. Ему-то и соответствует утерянное число 0. Особенность этого математического объекта состоит в том, что он является подъобъектом любого объекта, в частности, пустого множества! Нулевой сканд e₀ «более пуст», чем пустое множество Ø={} — у последнего есть скобки, у первого их нет. Но одноэлементное множество {e₀}, равное точке (примитивному континууму), порождает двухточие {0, 1}, затем четырехточие и т. д., далее ω раз такая бифуркация порождает обычный континуальный отрезок [0, 1], затем следует череда дискретных отрезков, а после 2ω бифуркаций получится неевклидов отрезок-континуум, но пока такой же размерности. Если мы повторим этот процесс несчетное число раз ω₁, то получим континуальный отрезок мощности гиперконтинуума. И так далее, пока не придем к абсолютному континууму, мощность которого выходит за пределы мира множеств — это ближайший, пограничный слой трансбесконечного мира, который потаен от нашего мира и не являет нам себя. Вот таково, выражаясь словами Ильина, предметное и духовное обстояние. Континуум совсем не актуальная бесконечность, как считалось ранее, а потенциальная ступень с иерархии континуумов вплоть до абсолютной непрерывности.

В известной басне Эзопа «Лисица и виноград» Лиса увидела в саду виноград, который ее пленил. Прыгала, прыгала, прыгала, а достать не смогла. Отошла от него, оглянулась, махнула лапой и сказала себе: «Зелен виноград!»

Мораль этой басни очевидна. Но очевидна ли истина этой басни? Если всмотреться глубже, то можно увидеть в ней более глубокий и серьезный смысл: «Ничего в этом мире не стоит таких огромных усилий, чтобы потом действительно (воочию) понять, что всё, нас прельщавшее, не что иное, как зеленый виноград, от которого оскомина — лишь слабое и невинное последствие». По-другому сказать, то, что не видимо, не слышимо, не явлено, трансцендентно — более важно и фундаментально в нашей жизни и в нашем бытии, более определяет смысл каждой вещи, каждого существования, каждого бытия. К нему безнадежно тянется наша философия и ее сознательные труженики.

Из вопросов и обсуждений: 1. В ряде вопросов затрагивались некоторые «технические» особенности построения введенного автором нового математического объекта — сканда, и обсуждалась (реплика Р. Ф. Полищука) его возможная аксиоматика. 2. По ходу дальнейшего обмена мнениями присутствующие сошлись на констатации, что теория Ю. Т. Лисицы своеобразно продолжает и развивает результаты Г. Кантора, когда-то удивившие математический мир: если в канторовской теории трансфинитов описывается «бездна», развертывающаяся в иерархии актуальных бесконечностей, то Ю. Т. Лисица предлагает такое же разворачивание «бездны» в иерархии потенциальных бесконечностей.

К содержанию Бюллетеня

Культурная и научная жизнь «Дома А.Ф. Лосева»

Семинар «Русская философия». Хроника: октябрь 2011 — апрель 2012 г.

Вы можете скачать Пятнадцатый выпуск Бюллетеня /ЗДЕСЬ/