Бюллетень. Номер одиннадцатый. Наши публикации

Маркин В.И. Непротиворечивая логика противоречивого мира (О логическом наследии Н.А. Васильева)

Русский логик Николай Александрович Васильев по праву считается одним из создателей неклассической логики наряду с Я. Лукасевичем, К. Льюисом и Л. Брауэром. Он родился в 1880 г. и умер в 1940 г.

Его отец — Александр Васильевич Васильев — был известным математиком, профессором Казанского университета, пропагандистом идей Лобачевского. Являлся членом Государственного совета.

В 1898 г. Васильев поступает на медицинский факультет Казанского университета, который оканчивает в 1904 г. и некоторое время работает врачом в дер. Шатьма Ядринского уезда. В 1904 г. выходит его сборник стихов «Тоска по вечности», в дальнейшем публикуются его переводы и критические статьи о поэзии. В 1906 г. он сдает в Казанском университете экзамены по предметам курса историко-филологического факультета и защищает квалификационную работу «Вопрос о падении Западной Римской империи и античной культуры в историографической литературе и в истории философии в связи с теорией истощения народов и человечества». В 1907 г. читает курс психологии на Казанских высших женских курсах, который издается в 1908 г. (в 1920 г. Васильев вернется к исследованиям в области психологии, возглавив научную группу в университете). В 1910 г. становится приват-доцентом по кафедре философии Казанского университета, читает курсы по логике, философии математики, спецкурсы по логике и метафизике Аристотеля. В 1913 г. публикует статью «Логический и исторический метод в этике (об этических системах Л.Н. Толстого и В.С. Соловьева)». В 1917 г. становится доцентом, а в 1918 г. профессором. В начале 1920-х гг. обостряется душевная болезнь, и Васильев покидает университет. Его помещают в университетскую клинику, выделяют специальный кабинет, где он работает в периоды кратковременных улучшений.

Н.А. Васильевым были опубликованы всего три развернутые статьи по логике, причем они уместились в короткий временной интервал — в период с 1910 г. по 1913 г.

Первая работа — «О частных суждениях, о треугольнике противоположностей, о законе исключенного четвертого» («Ученые записки Казанского университета», 1910) — содержит критику частных суждений в их аристотелевском понимании (где квантор «некоторые» трактуется как «по крайней мере один, а может быть, и все»). Такие суждения, по Васильеву, продиктованы неполнотой знания и скрыто содержат в себе задачу выяснить, все ли упомянутые предметы обладают неким свойством, или не все. Васильев строит систему силлогистики с тремя типами высказываний: общеутвердительными — «Все S есть P», общеотрицательными — «Ни один S не есть P» и определенно-частными (акцидентальными) — «Только некоторые S есть P».

Во второй работе — «Воображаемая (неаристотелева) логика» («Журнал Министерства народно-го просвещения», 1912) — Васильев предпринимает попытку построения логической системы, в которой отсутствует закон непротиворечия, а именно, допускается, что предмет может одновременно обладать и не обладать неким свойством. В язык этой системы наряду с утвердительными и отрицательными вводятся так называемые индифферентные (т.е. противоречивые) высказывания, содержащие связку «есть и не есть одновременно». Также здесь высказывается идея построения «логики n измерений» (логики с n различными типами качества суждений), частными случаями которой являются стандартная силлогистика (логика двух измерений) и воображаемая логика (логика трех измерений).

Основной тезис третьей работы — «Логика и металогика» («Логос», 1913) — необходимость различения двух уровней логического знания: «эмпирической» логики, основанной на принятии или отбрасывании предпосылок онтологического характера, и металогики — логики познающего субъекта, законы которой содержат минимум логического, не зависят от принимаемой онтологии и неизменны.

Кроме того, на английском языке Васильевым опубликованы тезисы доклада на 5-м Международном конгрессе по философии в Неаполе (1924 г.).

Работы Васильева были замечены некоторыми известными логиками того времени, в научной периодике публиковались рецензии на его статьи, подробное изложение его доклада вместе с обсуждением, однако вскоре его логические идеи были забыты.

Ситуация изменилась в 60-х годах ХХ столетия. В 1962 г. выходит в свет статья Владимира Александровича Смирнова «Логические идеи Н.А. Васильева»[1]. Подробный реферат этой статьи в 1965 г. печатается в The Journal of Symbolic Logic[2].

Эта публикация вызвала живой интерес у специалистов, разрабатывавших новое оригинальное направление в неклассической логике — паранепротиворечивую логику. Теории, строящиеся на основе паранепротиворечивых логик, допускают принятие в качестве законов противоречащих друг другу утверждений вида А и неверно, что А, однако наличие противоречия не тривиализирует теорию: если в классической логике из противоречия выводимо любое утверждение, то в теориях, построенных на базе паранепротиворечивой логики, это не так — в них имеются недоказуемые утверждения.

Идея Васильева о возможности построения системы корректных рассуждений, относящихся к противоречивой онтологии, оказалась созвучной исходным содержательным установкам, лежащим в основании паранепротиворечивой логики. Бразильский логик Аида Арруда построила ряд паранепротиворечивых логических систем, названных ею «васильевскими»[3].

Огромное значение в возрождении интереса к логическим идеям Васильева имели исследования В.А. Смирнова и В.А. Бажанова, результатом которых стала публикация в 1989 г. сборника его работ[4].

Остановимся подробно на наиболее разработанной и известной логической системе Н.А. Васильева — воображаемой неаристотелевой логике.

Васильев строит свою воображаемую логику, находясь под явным влиянием работ в области неэвклидовой геометрии своего коллеги по Казанскому университету Николая Лобачевского. Сам термин «воображаемая» заимствован Васильевым у Лобачевского. Если в воображаемой геометрии Лобачевского 5-й постулат Эвклида заменяется несовместимым с ним утверждением, то в неаристотелевой логике Васильева не действует закон непротиворечия.

Следует уточнить, что данный закон имеет две различные неэквивалентные формулировки: (1) одно и то же суждение не может одновременно быть как истинным, так и ложным; (2) один и тот же предмет не может одновременно обладать и не обладать одним и тем же свойством.

Закон в первой его формулировке Васильев считает универсальным логическим принципом, и относит его не к сфере эмпирической логики, а к сфере металогики (называя его «законом абсолютного различения истины и лжи").

Вторая же формулировка закона непротиворечия относится, по мнению Васильева, к сфере эмпирической логики, логики бытия и не носит универсального характера. Можно представить себе иной мир, в котором предмет может и обладать, и не обладать некоторым свойством. Воображаемая логика — это как раз эмпирическая логика такого противоречивого мира. Но сама она, по мысли Васильева, непротиворечива, в ее рамках нельзя одновременно обосновать истинность и ложность одного и того же суждения.

Необходимо отметить, что воображаемая логика Васильева представляет собой систему силлогистического типа, подобную по выразительным возможностям языка и стилю построения силлогистике Аристотеля. Таким образом, свои новаторские идеи Васильев реализует не средствами символической логики, возникшей на рубеже XIX и ХХ веков, а с использованием весьма архаичной логической техники из арсенала логики традиционной. Это обстоятельство, кстати, стало одной из причин длительного забвения логических систем Васильева.

Чтобы обеспечить адекватные языковые средства для построения логики противоречивого мира, Васильев обогащает язык аристотелевской силлогистики, в которой рассматривались суждения только двух качеств — утвердительные (имеющие связку «есть») и отрицательные (имеющие связку «не есть»). В языке воображаемой логики наряду с утвердительными и отрицательными рассматриваются противоречивые суждения (Васильев называет их «индифферентными»), содержащие связку «есть и не есть одновременно». Индифферентные суждения, согласно Васильеву, ложны в нашем, «земном» мире, но могут оказаться истинными в некотором «воображаемом» мире.

В языке с тремя различающимися по качеству типами суждений Васильев формулирует аппарат дедукции, позволяющий описать класс логически корректных и строгих рассуждений, относящихся к противоречивой онтологии. Свою воображаемую логику Васильев строит в том же ключе, как Аристотель излагал свою силлогистику в начальных главах «Первой Аналитики»: с выделением принципов обращения, законов противоположностей, правильных модусов различных фигур силлогизма.

Несколько лет назад мне и моей ученице Т.П. Костюк удалось осуществить современную реконструкцию воображаемой логики: построить аксиоматическое исчисление, формализующее класс законов логики Васильева, и сформулировать адекватную семантику для этого исчисления, в которой задаются условия истинности и ложности суждений этой логики[5]. Предлагаемая нами интерпретация воображаемой логики основана на идее сопоставления каждому общему термину трех экстенсиональных характеристик — его объема, антиобъема и противоречивой области. Суждение «Все S есть P» оценивается как истинное, если объем S включается в объем P. Суждение «Все S не есть P» истинно, если объем S включается в антиобъем P, а суждение «Все S есть и не есть P» истинно, если объем S включается в область, противоречивую относительно P. В том же ключе дается интерпретация единичных и частных суждений воображаемой логики.

Идея трех объемов, связанных с термином, имелась и у самого Васильева. Правда, она выражена недостаточно четко. Так, в конспекте его лекции «Воображаемая логика» находим: «Тогда мы имели бы три основные формы суждения по качеству: 1) Простое утверждение: S есть P. 2) Простое отрицание S есть non P. 3) Соединение утверждения с отрицанием (индифферентное суждение): S есть P и non P зараз»[6]. Было бы опрометчивым утверждать, что отрицание («non») трактуется здесь как часть предиката. В этом случае все три высказывания были бы утвердительными, а Васильев прямо указывает, что они различаются по качеству. Скорее, здесь он формулирует интуитивную семантику суждений трех различных качеств: утвердительные — фиксируют некоторое отношение между объемами своих терминов, отрицательные — отношение между объемом субъекта и анти-объемом предиката, индифферентные — отношение между объемом S и областью, противоречивой относительно P.

Ранее уже говорилось, что Васильева по праву считают предшественником паранепротиворечивой логики. Однако многие исследователи (например, Л. Хвистек, А.И. Мальцев и Н. Решер) считали его предшественником многозначной логики. Думается, что основанием для такой оценки явилось то обстоятельство, что в воображаемой логике имеются суждения не двух, а трех типов качества.

Следует заметить, что сам по себе факт появления нового типа суждения еще не свидетельствует о ревизии принципа двузначности, да и в работах самого Васильева возможность введения третьего значения всерьез не исследуется, в своих построениях он преимущественно обходится классическими оценками — «истина» и «ложь».

Вопрос о связи логического наследия казанского ученого с идеей многозначности может, по моему убеждению, решаться не только на основе анализа оригинальных васильевских текстов. Этот вопрос может ставиться в иной плоскости — как проблема метатеоретических взаимоотношений воображаемой логики и логики многозначной.

Семантика воображаемой логики, идея которой только что была сформулирована, содержит конструкции, достаточные для семантического построения трехзначной логики предикатов. Существует простой, интуитивно ясный адекватный перевод суждений логической системы Васильева в язык многозначной логики предикатов. Мне удалось доказать, что данный перевод погружает воображаемую логику в кванторную трехзначную логику, т.е. формула является законом воображаемой логики тогда и только тогда, когда ее перевод доказуем в трехзначной логике предикатов[7].

Это свидетельствует о том, что естественную интерпретацию воображаемой логики можно дать, опираясь на принцип многозначности.

Хотел бы обратить особое внимание на заключительную часть статьи «Воображаемая (неаристотелева) логика", где Васильев проводит сопоставление построенной им логической системы и неевклидовой геометрии Лобачевского. Васильев ставит вопрос об интерпретации воображаемой логики в терминах «нашего», «реального» мира: «Мы можем дать реальное истолкование для неевклидовой геометрии, можем найти в нашем евклидовом пространстве образования, геометрия которых будет неевклидовой <...> Реальным истолкованием геометрии Лобачевского будет геометрия на поверхности с постоянной отрицательной кривизной, на так называемой псевдосфере <...> Так точно можно найти в нашем мире образования, логика которых будет аналогична воображаемой»[8].

Васильев предлагает три «земных» интерпретации воображаемой логики. Согласно первой из них, суждения его системы трактуются как модальные: утвердительные как содержащие модальность необходимой присущности, отрицательные как содержащие модальность необходимой неприсущности, противоречивые — как содержащие модальность билатеральной возможности, т.е. случайности.

Вторая интерпретация воображаемой логики базируется на идее экспликации ее суждений посредством отношений абсолютного сходства, абсолютного различия и частичного сходства и различия между предметами: в утвердительных фиксируется абсолютное сходство элементов объемов субъекта и предиката, в отрицательных — их абсолютное различие, в индифферентных — частичное сходство и различие.

Наконец, последняя, третья интерпретация воображаемой логики исходит из идеи трактовки терминов суждения как представляющих не классы предметов, а множества признаков (положительных и отрицательных), т.е. содержания понятий; силлогистические константы при этом понимаются как знаки различных отношений между терминами по содержанию, а не по объему.

Подобная идея интенсиональной интерпретации силлогистики в отчетливом виде была впервые высказана Г. Лейбницем, который прямо противопоставлял «содержательную» трактовку категорических суждений «объемной», схоластической.

В трактате «Новые опыты о человеческом разумении» Лейбниц поставил задачу обоснования традиционной силлогистики на основе отношений между понятиями по содержанию: «Действительно, говоря: «Всякий человек есть животное», я хочу этим сказать, что все люди находятся в числе всех животных, но одновременно я имею ввиду, что идея животного включена в идею человека. Животное содержит больше индивидов, чем человек, но человек содержит больше идей или больше формальных определений. Животное содержит больше экземпляров, человек — больше степеней реальности; у первого больший объем, у второго большее содержание. Поэтому мы вправе сказать, что все учение о силлогизме можно доказать на основании учения de continente et contento (о содержащем и содержимом), которое отлично от учения о целом и части»[9].

В работе Васильева общеутвердительные высказывания «Все S есть P» трактуются как содержащие информацию о том, что в понятии S утверждаются все признаки понятия P, т.е. — в полном соответствии с Лейбницем — что содержание P есть часть содержания S. Интерпретация общих суждений двух других качеств основана на различении абсолютного и слабого отрицания: суждение типа «Все S не есть (в абсолютном смысле) P» выражает мысль о том, что в понятии S отрицаются все признаки понятия P, а суждение типа «Все S не есть (в слабом смысле) P» — что в понятии S отрицаются лишь некоторые признаки понятия P (т.е. некоторые признаки P отрицаются в S, а некоторые утверждаются).

Слабое отрицание, указывает Васильев, по своим логическим свойствам аналогично обычной отрицательной связке аристотелевской силлогистики: действительно, наличия хотя бы одной пары противоречащих признаков в содержаниях двух понятий достаточно для того, чтобы их объемы не имели общих элементов (примерно так трактует общеотрицательные суждения и Лейбниц). Тем не менее, высказывания с абсолютным отрицанием естественно трактовать как аналог отрицательных суждений воображаемой логики, так как и те, и другие содержат исключительно негативную предикацию. Аналогом же индифферентных суждений, соединяющих утверждение с отрицанием, уместно считать высказывания со слабым отрицанием.

Сформулировав в идейном плане семантику суждений, выражающих связи между понятиями по содержанию, Васильев замечает, что их логика отлична от основного варианта воображаемой логики — в ней появляются новые законы: в частности, при данной интерпретации правомерными оказываются некоторые модусы первой фигуры с утвердительной большей и абсолютно отрицательной меньшей посылками, например, «Все M есть P. Все S не есть M. Следовательно, все S не есть P».

Реконструкция второго варианта воображаемой логики была осуществлена мной совместно с Д.В. Зайцевым. Нам удалось построить интенсиональную семантику для этой системы и сформулировать адекватное ей аксиоматическое исчисление[10].

Таким образом, Н.А. Васильев не только одним из первых построил (правда, в силлогистической форме) логику, альтернативную классической, но также указал на множественность неклассических логических систем, формулирующихся в одном языке, но имеющих различные классы законов. В этом его несомненная историческая заслуга, на которую, насколько нам известно, раньше не обращали внимания.

____________________________________

1 Смирнов В.А. Логические взгляды Н.А.Васильева // Очерки по истории логики в России. М.: Издательство МГУ, 1962. С. 242—257.

2 Comey D.D. Review of V.A. Smirnov 1962 // The Journal of Symbolic Logic. 1965. Vol. 30. P. 368—370.

3 Arruda A.I. On the imaginary logic of N.A.Vasil'ev // Proceedings of Fourth Latin-American Symposium on Mathematical Logic. North-Holland, 1979. P. 1—41. (Русский перевод: Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М.: Наука, 1989. С. 187—208).

4 Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М.: Наука, 1989.

5 Костюк Т.П., Маркин В.И. Формальная реконструкция воображаемой логики Н.А. Васильева // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы V Общероссийской научной конференции. СПб.: Издательство СПбГУ, 1998. С. 154—159.

6 Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М.: Наука, 1989. С. 129.

7 Маркин В.И. Погружение воображаемой логики Н.А. Васильева в кванторную трехзначную логику // Логические исследования. Вып.7. М.: Наука, 2000. С. 252—260.

8 Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М.: Наука, 1989. С. 81.

9 Лейбниц Г.В. Сочинения в четырех томах. Т.2. М.: Мысль, 1983. С. 501—502.

10 Зайцев Д.В., Маркин В.И. Воображаемая логика-2: реконструкция одного из вариантов знаменитой логической системы Н.А. Васильева // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН 1998. М.: ИФ РАН, 1999. С. 134—142.

К содержанию Бюллетеня

Наши публикации

Вы можете скачать Одиннадцатый выпуск Бюллетеня /ЗДЕСЬ/